Donner un équivalent simple de chacune des suites suivantes quand $n\to+\infty$.
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$a_n=\dfrac{n^3-2n+\ln n}{5n^2+e^{-n}}$
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$b_n=\ln\left(1+\frac2n\right)\sin\frac1{\sqrt n}$
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$c_n=n!+3^n-n^{10}$
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$d_n=\sqrt{n^2+n}-n$
Dans une somme, chercher le terme prépondérant à l'aide des croissances comparées, puis factoriser par ce terme.
Pour 2), les quantités $\frac2n$ et $\frac1{\sqrt n}$ tendent vers $0$ : on peut leur appliquer les équivalents usuels en $0$.
Pour 4), les deux termes sont équivalents à $n$ : il faut une quantité conjuguée.
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Au numérateur, $n=o(n^3)$ et $\ln n=o(n^3)$ par croissances comparées, donc $-2n+\ln n=o(n^3)$ et $n^3-2n+\ln n=n^3+o(n^3)\sim n^3$. Au dénominateur, $\frac{e^{-n}}{n^2}\to0$, donc $e^{-n}=o(n^2)$ et $5n^2+e^{-n}\sim5n^2$. Par quotient d'équivalents : $$a_n\sim\frac{n^3}{5n^2}=\frac n5.$$
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Comme $\frac2n\to0$ et $\ln(1+x)\underset{x\to0}{\sim}x$, la substitution donne $\ln\left(1+\frac2n\right)\sim\frac2n$. De même $\frac1{\sqrt n}\to0$ et $\sin x\underset{x\to0}{\sim}x$ donnent $\sin\frac1{\sqrt n}\sim\frac1{\sqrt n}$. Par produit : $$b_n\sim\frac2n\cdot\frac1{\sqrt n}=\frac2{n^{3/2}}.$$
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Par croissances comparées, $3^n=o(n!)$ et $n^{10}=o(3^n)$, donc $n^{10}=o(n!)$ par transitivité. Ainsi $$c_n=n!\left(1+\frac{3^n}{n!}-\frac{n^{10}}{n!}\right),$$ et la parenthèse tend vers $1$. Donc $c_n\sim n!$.
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Les deux termes sont équivalents à $n$ : il y a compensation, on ne peut pas soustraire les équivalents. Avec la quantité conjuguée, pour $n\geq1$ : $$d_n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac n{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)}=\frac1{\sqrt{1+\frac1n}+1}.$$ Cette quantité tend vers $\frac12$. La limite étant un réel non nul, $d_n\sim\frac12$.
$a_n\sim\frac n5$ ; $b_n\sim\frac2{n^{3/2}}$ ; $c_n\sim n!$ ; $d_n\sim\frac12$