Caractérisation et règles de calcul : énoncé (MPSI)

Si $g$ ne s'annule pas sur $V\cap I$ privé de $a$, pour un voisinage $V$ de $a$, alors, pour $x\neq a$ : $$f=o_a(g)\iff\frac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{}0,\qquad f\sim_ag\iff\frac{f(x)}{g(x)}\xrightarrow[x\to a]{}1.$$ Toutes les propriétés vues pour les suites restent vraies : règles de calcul sur $o$ et $O$, $\sim$ relation d'équivalence, conservation de la limite et du signe au voisinage de $a$, compatibilité de $\sim$ avec le produit, le quotient et les puissances fixes. Les mêmes interdits s'appliquent : pas de somme, pas de composition à gauche.