Formule de Taylor-Young : énoncé (MPSI)
Formule de Taylor-Young
Soit $n\in\mathbb N$, $f:I\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^n$ sur $I$ et $a\in I$. Alors $f$ admet un $\mathrm{DL}_n(a)$, donné par $$f(x)\underset{x\to a}{=}\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big).$$
Démonstration : Formule de Taylor-Young
Taylor-Young
Récurrence sur $n$. Notons $\mathcal P(n)$ : « pour toute fonction $f$ de classe $\mathcal C^n$ sur $I$, la formule est vraie à l'ordre $n$ ».
Initialisation : si $f$ est de classe $\mathcal C^0$, elle est continue en $a$, donc $f(x)=f(a)+o(1)$.
Hérédité : supposons $\mathcal P(n)$ et soit $f$ de classe $\mathcal C^{n+1}$ sur $I$. Alors $f'$ est de classe $\mathcal C^n$ et, par $\mathcal P(n)$ appliquée à $f'$ : $$f'(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big).$$ Comme $f$ est dérivable sur $I$, le théorème de primitivation donne $$f(x)=f(a)+\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)\,k!}(x-a)^{k+1}+o\big((x-a)^{n+1}\big)=\sum_{j=0}^{n+1}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j+o\big((x-a)^{n+1}\big),$$ où l'on a posé $j=k+1$ et utilisé $(k+1)\,k!=(k+1)!$. C'est $\mathcal P(n+1)$.
Usage de Taylor-Young
La formule de Taylor-Young est avant tout un résultat d'existence. Pour calculer un DL, dériver $n$ fois est rarement efficace : on combine les DL usuels (section suivante). Dans l'autre sens, si $f$ est de classe $\mathcal C^n$, l'unicité donne $f^{(k)}(a)=k!\,a_k$ : un DL calculé par opérations fournit les dérivées successives en $a$.
Hors programme : la formule reste vraie si $f$ est seulement $n$ fois dérivable en $a$.