Calculer un DL par compositionUtiliser la formule de Taylor-Young et l'unicité du DLContrôler un résultat par une seconde méthode
Soit $f(x)=\ln(1+x+x^2)$.
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Justifier que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$.
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Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $4$ en $0$ par composition.
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Vérifier que, pour $x<1$, $f(x)=\ln(1-x^3)-\ln(1-x)$. En déduire le développement limité de $f$ à l'ordre $6$ en $0$ et retrouver le résultat de 2).
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En déduire $f^{(3)}(0)$, $f^{(4)}(0)$, $f^{(5)}(0)$ et $f^{(6)}(0)$.
Indice 1
Le discriminant de $x^2+x+1$ est négatif.
Indice 2
Pour 2), poser $u=x+x^2$ et développer $\ln(1+u)$ jusqu'à $u^4$.
Indice 3
Pour 3), $(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3$.
Indice 4
Pour 4), la formule de Taylor-Young et l'unicité du DL donnent $f^{(k)}(0)=k!\,a_k$.
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