Prépa, 1re année › Analyse asymptotique › DL en un point $a\neq0$ ou en $\pm\infty$
DL en un point $a\neq0$ ou en $\pm\infty$ : méthode (MPSI)
Méthode
DL en un point $a\neq0$ ou en $\pm\infty$
- Pour un DL en $a\in\mathbb R$, poser $x=a+h$ et chercher le DL de $h\mapsto f(a+h)$ en $0$.
- Faire apparaître une forme usuelle en factorisant : $\sqrt{a+h}=\sqrt a\sqrt{1+\frac ha}$, $e^{a+h}=e^ae^h$, $\ln(a+h)=\ln a+\ln\left(1+\frac ha\right)$ pour $a>0$.
- Revenir à $x$ en remplaçant $h$ par $x-a$, sans développer les puissances de $x-a$.
- En $\pm\infty$, poser $h=\frac1x$, qui tend vers $0$ : on obtient un développement suivant les puissances de $\frac1x$, appelé développement asymptotique.
Exemple
DL de $\sqrt x$ à l'ordre 2 en $4$
On pose $x=4+h$. Alors $\sqrt{4+h}=2\sqrt{1+\frac h4}$ et, par substitution $u=\frac h4\to0$ dans le DL de $\sqrt{1+u}$ : $$\sqrt{4+h}=2\left(1+\frac h8-\frac{h^2}{128}+o(h^2)\right)=2+\frac h4-\frac{h^2}{64}+o(h^2).$$ Donc $\sqrt x=2+\frac{x-4}4-\frac{(x-4)^2}{64}+o\big((x-4)^2\big)$. Contrôle : la dérivée de $\sqrt x$ en $4$ vaut $\frac1{2\sqrt4}=\frac14$, ce qui est cohérent avec le coefficient de $x-4$.
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités en un point non nul
- Vrai ou faux sur les relations de comparaison
- Un quotient : la fonction x/(e^x - 1)
Dans le cours
Analyse asymptotique : DL en un point $a\neq0$ ou en $\pm\infty$