Soit $f(x)=xe^x$ sur $[-1,+\infty[$.
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Montrer que $f$ réalise une bijection de $[-1,+\infty[$ sur $\left[-\frac1e,+\infty\right[$. On note $g$ sa réciproque. On admet (théorème de dérivation d'une réciproque) que $g$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\left]-\frac1e,+\infty\right[$.
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Justifier que $g$ admet un développement limité à l'ordre $3$ en $0$ de la forme $g(y)=ay+by^2+cy^3+o(y^3)$.
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Déterminer $a$, $b$, $c$ en exploitant la relation $f(g(y))=y$.
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En déduire $g''(0)$, $g'''(0)$, et la position locale de la courbe de $g$ par rapport à sa tangente en $0$.
Étudier le signe de $f'(x)=(1+x)e^x$.
Pour 2), appliquer Taylor-Young et calculer $g(0)$.
Pour 3), $u=g(y)\to0$ et $u=O(y)$ : substituer $u$ dans le DL de $f$ à l'ordre $3$, puis identifier.
On peut contrôler $a$ avec la formule $g'(0)=\frac1{f'(g(0))}$.
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