Primitivation d'un développement limité : énoncé (MPSI)
Primitivation d'un développement limité
Soit $f:I\to\mathbb R$ dérivable sur $I$ et $a\in I$. Si $f'$ admet un $\mathrm{DL}_n(a)$ : $$f'(x)=\sum_{k=0}^na_k(x-a)^k+o\big((x-a)^n\big),$$ alors $f$ admet un $\mathrm{DL}_{n+1}(a)$, obtenu en primitivant terme à terme sans oublier la constante $f(a)$ : $$f(x)=f(a)+\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}(x-a)^{k+1}+o\big((x-a)^{n+1}\big).$$
Démonstration : Primitivation d'un développement limité
Primitivation
Posons $g(x)=f(x)-f(a)-\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}(x-a)^{k+1}$. La fonction $g$ est dérivable sur $I$, $g(a)=0$ et $g'(x)=f'(x)-\sum_{k=0}^na_k(x-a)^k=o\big((x-a)^n\big)$.
Soit $\varepsilon>0$. Il existe $\eta>0$ tel que $|g'(t)|\leq\varepsilon|t-a|^n$ pour tout $t\in I$ vérifiant $|t-a|\leq\eta$. Soit $x\in I$ avec $x\neq a$ et $|x-a|\leq\eta$. Le théorème des accroissements finis, appliqué à $g$ entre $a$ et $x$, fournit $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ (donc $c\in I$) tel que $g(x)=g(x)-g(a)=g'(c)(x-a)$. Comme $|c-a|\leq|x-a|\leq\eta$ : $$|g(x)|\leq\varepsilon|c-a|^n|x-a|\leq\varepsilon|x-a|^{n+1}.$$ Ainsi $\frac{g(x)}{(x-a)^{n+1}}\to0$ quand $x\to a$, c'est-à-dire $g(x)=o\big((x-a)^{n+1}\big)$.
Dérivation d'un DL
On ne dérive pas un DL sans hypothèse. Pour $f(x)=x^3\sin\frac1x$ (et $f(0)=0$), le $\mathrm{DL}_2(0)$ est nul, mais $f'$ n'admet pas de $\mathrm{DL}_1(0)$ puisque $f'$ n'est pas dérivable en $0$.
En revanche, si $f$ admet un $\mathrm{DL}_n(a)$ et si l'on sait que $f'$ admet un $\mathrm{DL}_{n-1}(a)$ (par exemple parce que $f$ est de classe $\mathcal C^n$), la primitivation et l'unicité montrent que le DL de $f'$ s'obtient en dérivant la partie régulière de celui de $f$.
S’entraîner
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par somme et produit
- Développements limités par composition
- Un quotient : la fonction x/(e^x - 1)
- Limites par développements limités
Dans le cours
Analyse asymptotique : Primitivation d'un développement limité