Développements limités usuels en $0$ : énoncé (MPSI)
Développements limités usuels en $0$
Pour $n\in\mathbb N$ et $\alpha\in\mathbb R$, quand $x\to0$ : $$e^x=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)=1+x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$ $$\operatorname{ch}x=\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}),\qquad\operatorname{sh}x=\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})$$ $$\cos x=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1}),\qquad\sin x=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})$$ $$\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^nx^k+o(x^n),\qquad\frac1{1+x}=\sum_{k=0}^n(-1)^kx^k+o(x^n)$$ $$\ln(1+x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{x^k}k+o(x^n)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\dots+o(x^n)\quad(n\geq1)$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$$ $$\arctan x=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}+o(x^{2n+2})$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$$
Démonstration : Développements limités usuels en $0$
Justification des développements usuels
- $\exp$ est de classe $\mathcal C^\infty$ et $\exp^{(k)}(0)=1$ : on applique Taylor-Young.
- $\cos$ et $\sin$ sont de classe $\mathcal C^\infty$. Les dérivées successives de $\cos$ en $0$ valent cycliquement $1,0,-1,0$, d'où $\cos^{(2k)}(0)=(-1)^k$ et $\cos^{(2k+1)}(0)=0$. Taylor-Young à l'ordre $2n+1$ donne le DL annoncé, le terme de degré $2n+1$ étant nul ; c'est pourquoi le reste est $o(x^{2n+1})$. Même raisonnement pour $\sin$ à l'ordre $2n+2$, et pour $\operatorname{ch}$, $\operatorname{sh}$, dont les dérivées en $0$ valent alternativement $1$ et $0$, sans signe.
- $\frac1{1-x}$ : exemple de la section 3. $\frac1{1+x}$ s'en déduit par substitution $x\mapsto-x$.
- $x\mapsto\ln(1+x)$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$, s'annule en $0$, et sa dérivée vérifie $\frac1{1+x}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kx^k+o(x^{n-1})$. Par primitivation, $\ln(1+x)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}+o(x^n)$ ; en posant $j=k+1$, on obtient la formule annoncée.
- Sur $]-1,+\infty[$, la dérivée $k$-ième de $x\mapsto(1+x)^\alpha$ est $\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$ (récurrence immédiate) ; on applique Taylor-Young.
- Par substitution $u=x^2$ dans le $\mathrm{DL}_{n+1}(0)$ de $\frac1{1+u}$ : $\frac1{1+x^2}=\sum_{k=0}^n(-1)^kx^{2k}+(-1)^{n+1}x^{2n+2}+o(x^{2n+2})=\sum_{k=0}^n(-1)^kx^{2k}+o(x^{2n+1})$. On primitive, avec $\arctan0=0$.
- $\tan$ : calcul détaillé dans la section suivante.
Racines carrées
Avec $\alpha=\frac12$ : $\frac{\alpha(\alpha-1)}2=\frac{\frac12\cdot(-\frac12)}2=-\frac18$ et $\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}6=\frac{\frac12\cdot(-\frac12)\cdot(-\frac32)}6=\frac1{16}$, d'où $$\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}+o(x^3).$$ Avec $\alpha=-\frac12$ : $\frac{(-\frac12)(-\frac32)}2=\frac38$ et $\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)}6=-\frac5{16}$, d'où $$\frac1{\sqrt{1+x}}=1-\frac x2+\frac{3x^2}8-\frac{5x^3}{16}+o(x^3).$$
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par somme et produit
- Développements limités en un point non nul
- Développements limités par composition