Théorème fondamental de l'arithmétique : énoncé (MPSI)

Existence, par récurrence forte sur $n \geqslant 2$. Si $n$ est premier, l'écriture $n = n$ convient. Sinon, $n = ab$ avec $2 \leqslant a, b < n$ ; par hypothèse de récurrence, $a$ et $b$ sont des produits de nombres premiers, donc $n$ aussi. On regroupe ensuite les facteurs égaux.

Unicité. Il suffit de montrer que si $p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s$ avec des premiers rangés dans l'ordre croissant au sens large ($p_1 \leqslant \dots \leqslant p_r$, $q_1 \leqslant \dots \leqslant q_s$), alors $r = s$ et $p_i = q_i$ pour tout $i$. On raisonne par récurrence forte sur $n$, la valeur commune des deux produits.

$p_1$ divise $q_1 \cdots q_s$, donc $p_1 = q_j$ pour un certain $j$, d'où $p_1 \geqslant q_1$. Symétriquement, $q_1 = p_i$ pour un certain $i$, d'où $q_1 \geqslant p_1$. Ainsi $p_1 = q_1$. En simplifiant : $p_2 \cdots p_r = q_2 \cdots q_s = n/p_1$.

Si $n/p_1 = 1$, les deux produits sont vides : $r = s = 1$. Sinon $2 \leqslant n/p_1 < n$, et l'hypothèse de récurrence donne $r - 1 = s - 1$ et $p_i = q_i$ pour $i \geqslant 2$.