On pose $a = 4199$ et $b = 1729$.
- Calculer $a \wedge b$ par l'algorithme d'Euclide.
- Déterminer un couple $(u, v) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $au + bv = a \wedge b$.
- En déduire $a \vee b$.
- Décomposer $a$ et $b$ en facteurs premiers, puis retrouver $a \wedge b$ et $a \vee b$ à l'aide des valuations.
Diviser $4199$ par $1729$, puis $1729$ par le reste obtenu, et ainsi de suite jusqu'à un reste nul.
Pour Bézout, exprimer chaque reste en fonction des deux nombres qui le précèdent, puis substituer en partant de l'avant-dernière division.
Utiliser $(a \wedge b)(a \vee b) = |ab|$ et remarquer que $b$ est un petit multiple du PGCD.
Le PGCD obtenu est le produit de deux nombres premiers : diviser $a$ et $b$ par ce PGCD.
1. On applique l'algorithme d'Euclide : $$4199 = 2 \times 1729 + 741, \qquad 1729 = 2 \times 741 + 247, \qquad 741 = 3 \times 247 + 0.$$ Le dernier reste non nul est $247$, donc $4199 \wedge 1729 = 247$.
2. On remonte les divisions : $247 = 1729 - 2 \times 741$ et $741 = 4199 - 2 \times 1729$. Donc $$247 = 1729 - 2(4199 - 2 \times 1729) = 5 \times 1729 - 2 \times 4199.$$ Le couple $(u, v) = (-2, 5)$ convient. Vérification : $5 \times 1729 = 8645$, $2 \times 4199 = 8398$ et $8645 - 8398 = 247$.
3. Comme $(a \wedge b)(a \vee b) = ab$ pour $a, b > 0$ : $$a \vee b = \frac{4199 \times 1729}{247}.$$ Or $1729 = 7 \times 247$, donc $a \vee b = 4199 \times 7 = 29393$.
4. On a $247 = 13 \times 19$, avec $13$ et $19$ premiers. Puis $1729 = 7 \times 247 = 7 \times 13 \times 19$ et $4199 = 17 \times 247 = 13 \times 17 \times 19$ (en effet $17 \times 247 = 4199$). Avec les valuations :
- $a \wedge b = 7^{0} \times 13^{1} \times 17^{0} \times 19^{1} = 247$ (exposants minimaux) ;
- $a \vee b = 7 \times 13 \times 17 \times 19 = 7 \times 4199 = 29393$ (exposants maximaux).
On retrouve les résultats précédents.
$4199\wedge 1729 = 247$ ; $(u,v)=(-2,5)$ ; $4199\vee 1729 = 29393$