Infinitude des nombres premiers : énoncé (MPSI)

Supposons par l'absurde que $\mathcal{P}$ est fini : $\mathcal{P} = \{p_1, \dots, p_k\}$. Posons $N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1 \geqslant 3$. D'après la propriété précédente, $N$ admet un diviseur premier, donc il existe $i$ tel que $p_i \mid N$. Comme $p_i \mid p_1 \cdots p_k$, on obtient $p_i \mid N - p_1 \cdots p_k = 1$, ce qui est absurde car $p_i \geqslant 2$.