Lemme des bergers : énoncé (MPSI)

Soit $f:E\to F$ une application surjective entre ensembles finis telle que chaque élément de $F$ ait exactement $k$ antécédents. Alors $$\operatorname{Card}E=k\,\operatorname{Card}F.$$ Preuve : $E=\bigcup_{y\in F}f^{-1}(\{y\})$, réunion disjointe de $\operatorname{Card}F$ parties à $k$ éléments.

Le nom vient de l'image du berger qui compte les pattes et divise par $4$. On s'en sert surtout pour diviser : si chaque objet a été compté $k$ fois, on divise par $k$.