Réunion de deux ensembles finis : énoncé (MPSI)
Réunion de deux ensembles finis
Pour $A$ et $B$ finis : $$\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B-\operatorname{Card}(A\cap B).$$
Démonstration : Réunion de deux ensembles finis
Preuve
On écrit $A\cup B=A\cup(B\setminus A)$, réunion disjointe. Donc $$\operatorname{Card}(A\cup B)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}(B\setminus A)=\operatorname{Card}A+\operatorname{Card}B-\operatorname{Card}(A\cap B),$$ en utilisant la propriété précédente pour $\operatorname{Card}(B\setminus A)$.
Entiers divisibles par 2 ou par 3
Dans $E=\llbracket 1,100\rrbracket$, soit $A$ l'ensemble des multiples de $2$ et $B$ celui des multiples de $3$.
- $\operatorname{Card}A=50$ ;
- $\operatorname{Card}B=33$ (car $3\times 33=99\le 100<102$) ;
- $A\cap B$ est l'ensemble des multiples de $6$ : $\operatorname{Card}(A\cap B)=16$ (car $6\times16=96$).
Donc $\operatorname{Card}(A\cup B)=50+33-16=67$. Il y a $100-67=33$ entiers de $E$ divisibles ni par $2$ ni par $3$.
Formule du crible (hors programme)
Pour trois ensembles finis : $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$ La formule générale de Poincaré pour $m$ ensembles est hors programme ; elle se redémontre si un énoncé la demande (par récurrence ou avec les fonctions indicatrices).
S’entraîner
- Multiples dans un intervalle d'entiers
- Applications et injections entre deux petits ensembles
- Mots de cinq lettres
- Anagrammes de BARBARA
- Chemins évitant des points