Applications entre ensembles finis de même cardinalContre-exemple en dimension infinieRéindexation par une bijectionLemme d'Euclide
- Soit $E$ un ensemble fini et $f,g:E\to E$ deux applications telles que $g\circ f=\mathrm{id}_E$. Montrer que $f$ est bijective, puis que $f\circ g=\mathrm{id}_E$.
- Montrer par un exemple que la conclusion tombe en défaut lorsque $E=\mathbb N$.
- Pour $x\in\llbracket1,10\rrbracket$, on note $\varphi(x)$ le reste de la division euclidienne de $3x$ par $11$. Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\llbracket1,10\rrbracket$ sur lui-même.
- En calculant de deux façons $\prod_{x=1}^{10}\varphi(x)$ modulo $11$, en déduire que $3^{10}\equiv1\ [11]$. Vérifier ce résultat directement.
Indice 1
L'égalité $g\circ f=\mathrm{id}_E$ donne immédiatement l'injectivité de $f$.
Indice 2
Sur $\mathbb N$, penser au décalage $n\mapsto n+1$.
Indice 3
Une bijection de $\llbracket1,10\rrbracket$ sur lui-même ne fait que permuter les facteurs d'un produit.
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