Exercice corrigé : Répartition en binômes

Soit $n\in\mathbb N^*$. On répartit $2n$ personnes en $n$ binômes (groupes de deux). Deux répartitions sont identiques si elles forment les mêmes binômes : les binômes ne sont pas numérotés.

1. On numérote d'abord les binômes de $1$ à $n$. Montrer qu'il y a $\frac{(2n)!}{2^n}$ répartitions en binômes numérotés.
2. En déduire le nombre $a_n$ de répartitions en binômes non numérotés.
3. Montrer que $a_n=1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)$.
4. Retrouver ce résultat en établissant directement $a_n=(2n-1)a_{n-1}$ pour $n\ge2$.
5. De combien de façons peut-on répartir $8$ élèves en $4$ binômes de TP ?