Prépa, 1re année › Dérivabilité › Dériver une réciproque
Dériver une réciproque : méthode (MPSI)
Méthode
Dériver une réciproque
- Justifier que $f$ est continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$ (souvent par le signe de $f'$).
- Repérer les points où $f'$ s'annule : leurs images sont les points où $f^{-1}$ n'est pas dérivable.
- Écrire $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ et simplifier l'expression $f'(f^{-1}(y))$ à l'aide d'une relation vérifiée par $f'$ (par exemple $\cos^2+\sin^2=1$, $1+\tan^2$, $\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=1$), en contrôlant les signes.
S’entraîner
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Une réciproque sans formule : la fonction $W$
- Dérivées successives de l'arctangente en $0$