Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=x+e^x$.
- Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. On note $g=f^{-1}$.
- Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et exprimer $g'$ en fonction de $g$.
- Calculer $g(1)$, puis $g'(1)$.
- Justifier que $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $g''(1)$.
Étudier le signe de $f'$ et les limites de $f$ en $\pm\infty$.
Pour $g(1)$, chercher un antécédent évident de $1$ par $f$.
Dériver l'expression $g'=\frac{1}{1+e^{g}}$ comme un inverse de fonction composée.
-
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=1+e^x>0$. Donc $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\mathbb{R}$. Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$ donc $f(x) \to -\infty$ ; quand $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}$.
-
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'$ ne s'annule pas. Par le théorème de dérivation d'une réciproque, $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $y$ : $$g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}=\frac{1}{1+e^{g(y)}}.$$
-
$f(0)=0+e^0=1$, donc $g(1)=0$ et $g'(1)=\frac{1}{1+e^0}=\frac12$.
-
$g$ est dérivable, donc $e^{g}$ l'est, et $1+e^{g}$ ne s'annule pas : $g'=\frac{1}{1+e^{g}}$ est dérivable. Ainsi $g$ est deux fois dérivable et $$g''(y)=-\frac{g'(y)\,e^{g(y)}}{\big(1+e^{g(y)}\big)^2}=-\frac{e^{g(y)}}{\big(1+e^{g(y)}\big)^3}.$$ En $y=1$ : $g(1)=0$, donc $g''(1)=-\frac{1}{2^3}=-\frac18$.
(On pouvait aussi invoquer la propriété du cours : $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ et $f'$ ne s'annule pas, donc $g$ est $\mathcal{C}^\infty$.)
$g(1)=0$, $g'(1)=\frac12$, $g''(1)=-\frac18$