Dériver $n$ fois une relation à l'aide de la formule de LeibnizÉtablir une relation de récurrence sur des dérivéesRaisonner par récurrence selon la parité
Soit $f=\arctan$ sur $\mathbb{R}$.
- Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ et que $(1+x^2)f'(x)=1$ pour tout réel $x$.
- Montrer que pour tout $n \ge 1$ et tout réel $x$ : $$(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nx\,f^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x)=0.$$
- En déduire, pour tout $p \in \mathbb{N}$, les valeurs de $f^{(2p)}(0)$ et $f^{(2p+1)}(0)$.
- Contrôler le résultat en calculant directement $f''$ et $f'''$.
Indice 1
Dériver $n$ fois l'identité $(1+x^2)f'(x)=1$ en appliquant Leibniz au produit $(1+x^2)\cdot f'$.
Indice 2
Évaluer la relation en $x=0$ : elle relie $f^{(n+1)}(0)$ à $f^{(n-1)}(0)$.
Indice 3
Traiter séparément les indices pairs (initialisés par $f(0)$) et impairs (initialisés par $f'(0)$).
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