Dérivée d'une réciproque : énoncé (MPSI)
Dérivée d'une réciproque
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ continue et strictement monotone, $J=f(I)$ et $f^{-1} : J \to I$ sa réciproque. Soit $a \in I$ et $b=f(a)$. Si $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(b)\big)}.$$ Si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et $(f^{-1})'=\dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}$.
Démonstration : Dérivée d'une réciproque
Preuve
Par le théorème de la bijection, $J$ est un intervalle et $f^{-1}$ est continue et strictement monotone sur $J$. Pour $y \in J \setminus \{b\}$, on pose $x=f^{-1}(y)$ ; par injectivité, $x \neq a$ et $f(x)=y \neq b$. Alors $$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\frac{1}{\tau_a(x)}.$$ Quand $y \to b$, $x=f^{-1}(y) \to f^{-1}(b)=a$ par continuité de $f^{-1}$, avec $x \neq a$. Donc $\tau_a(x) \to f'(a)$ par composition des limites, et comme $f'(a) \neq 0$, le quotient tend vers $\frac{1}{f'(a)}$.
Cas où $f'(a)=0$
Si $f'(a)=0$, $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$. En effet, si elle l'était, la dérivation de $f^{-1} \circ f=\mathrm{id}_I$ en $a$ donnerait $f'(a)\,(f^{-1})'(b)=1$, ce qui est impossible. Pour $f$ strictement croissante, $\frac{1}{\tau_a(x)} \to +\infty$ : le graphe de $f^{-1}$ a une tangente verticale en $b$, symétrique de la tangente horizontale de $f$ en $a$. Exemple : $x \mapsto x^3$ et $y \mapsto \sqrt[3]{y}$ en $0$.
Dérivée d'arcsin
$\sin$ est continue et strictement croissante de $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ sur $[-1,1]$, de réciproque $\arcsin$. Sa dérivée $\cos$ ne s'annule pas sur $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$. Donc $\arcsin$ est dérivable sur $]-1,1[$ et, pour $y \in\, ]-1,1[$ : $$\arcsin'(y)=\frac{1}{\cos(\arcsin y)}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},$$ car $\cos(\arcsin y) \ge 0$ (l'angle est dans $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$) et $\cos^2(\arcsin y)=1-y^2$. En $\pm 1$, $\cos(\pm\frac{\pi}{2})=0$ : $\arcsin$ n'est pas dérivable et son graphe a des tangentes verticales.
Réciproque sans expression explicite
$f(x)=x^5+x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x)=5x^4+1>0$ : $f$ est strictement croissante et continue, ses limites en $\pm\infty$ sont $\pm\infty$, donc $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. On ne connaît pas $f^{-1}$, mais $f(1)=2$ donc $f^{-1}(2)=1$ et $$(f^{-1})'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{6}.$$
S’entraîner
- Raccord dérivable entre une droite et une racine carrée
- Réciproque de $x \mapsto x+e^x$
- Racines de la dérivée d'un polynôme à racines connues
- Dérivée $n$-ième d'un produit polynôme-exponentielle
- Logarithme : tangente et corde