Exercice corrigé : Une réciproque sans formule : la fonction $W$

1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x)=(1+x)e^x$, strictement positive sur $]-1,+\infty[$, intérieur de $I$. Comme $f$ est continue sur $I$, elle est strictement croissante sur $I$. De plus $f(-1)=-\frac1e$ et $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. Par le théorème de la bijection, $f$ est une bijection de $I$ sur $J=\left[-\frac1e,+\infty\right[$.

2. $f'$ ne s'annule pas sur $]-1,+\infty[$, donc $W$ est dérivable en tout point de $f(]-1,+\infty[)=\left]-\frac1e,+\infty\right[$.

En $-\frac1e=f(-1)$ : $f'(-1)=0$. Si $W$ était dérivable en $-\frac1e$, la dérivation de $W \circ f=\mathrm{id}_I$ en $-1$ donnerait $f'(-1)\,W'(-\frac1e)=1$, soit $0=1$ : absurde. Plus précisément, pour $y \in J$, $y \neq -\frac1e$, on pose $x=W(y) \neq -1$ : $$\frac{W(y)-W(-\frac1e)}{y+\frac1e}=\frac{x+1}{f(x)-f(-1)}=\frac{1}{\tau_{-1}(x)}.$$ Quand $y \to -\frac1e$, $x \to -1$ par continuité de $W$, et $\tau_{-1}(x) \to f'(-1)=0$ en restant strictement positif ($f$ strictement croissante). Le quotient tend vers $+\infty$ : le graphe de $W$ a une tangente verticale au point $(-\frac1e,-1)$.

3. Pour $y>-\frac1e$ : $W'(y)=\frac{1}{f'(W(y))}=\frac{1}{(1+W(y))e^{W(y)}}$. Si de plus $y \neq 0$, alors $W(y) \neq 0$ car $f(0)=0$ et $f$ est injective. La relation $f(W(y))=y$ s'écrit $W(y)e^{W(y)}=y$, donc $e^{W(y)}=\frac{y}{W(y)}$ et $$W'(y)=\frac{W(y)}{y\,(1+W(y))}.$$

4. $f(0)=0$ donc $W(0)=0$ et $W'(0)=\frac{1}{(1+0)e^0}=1$. $f(1)=e$ donc $W(e)=1$ et $W'(e)=\frac{1}{2e}$ (la seconde formule donne aussi $\frac{1}{e\cdot 2}$).

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