Dérivée d'une composée : énoncé (MPSI)

On ne peut pas écrire directement $\frac{g(f(x))-g(f(a))}{f(x)-f(a)}$ car $f(x)-f(a)$ peut s'annuler pour $x \neq a$. On contourne la difficulté.

Pour $k$ tel que $b+k \in J$, on pose $\varepsilon(k)=\frac{g(b+k)-g(b)}{k}-g'(b)$ si $k \neq 0$ et $\varepsilon(0)=0$. Comme $g$ est dérivable en $b$, $\varepsilon(k) \to 0=\varepsilon(0)$ : $\varepsilon$ est continue en $0$. Pour tout $k$ (y compris $k=0$) : $$g(b+k)-g(b)=k\,\big(g'(b)+\varepsilon(k)\big).$$ Pour $h \neq 0$ avec $a+h \in I$, on applique cela à $k(h)=f(a+h)-f(a)$, de sorte que $b+k(h)=f(a+h)$ : $$\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h}=\frac{k(h)}{h}\,\big(g'(b)+\varepsilon(k(h))\big).$$ Quand $h \to 0$ : $\frac{k(h)}{h} \to f'(a)$ ; $k(h) \to 0$ car $f$ est continue en $a$, donc $\varepsilon(k(h)) \to 0$ par continuité de $\varepsilon$ en $0$. La limite vaut $f'(a)\,g'(b)$.