Prépa, 1re année › Dérivabilité › Condition nécessaire d'extremum local
Condition nécessaire d'extremum local : énoncé (MPSI)
Théorème
Condition nécessaire d'extremum local
Si $f : I \to \mathbb{R}$ admet un extremum local en un point $a$ intérieur à $I$ et si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)=0$. On dit que $a$ est un point critique de $f$.
Démonstration : Condition nécessaire d'extremum local
Démonstration
Preuve
Supposons que $f$ admet un maximum local en $a$ (pour un minimum, on applique le résultat à $-f$). Comme $a$ est intérieur à $I$, il existe $\eta>0$ tel que $[a-\eta,a+\eta] \subset I$ et $f(x) \le f(a)$ sur cet intervalle.
- Pour $x \in\, ]a,a+\eta]$ : $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \le 0$. Par passage à la limite en $a^+$, $f'(a) \le 0$.
- Pour $x \in [a-\eta,a[$ : $\tau_a(x) \ge 0$ (numérateur et dénominateur négatifs). Par passage à la limite en $a^-$, $f'(a) \ge 0$.
Donc $f'(a)=0$.
Attention
Deux limites de ce théorème
- La réciproque est fausse : $f(x)=x^3$ vérifie $f'(0)=0$ mais $f$ est strictement croissante, sans extremum en $0$.
- L'hypothèse « intérieur » est indispensable : $f(x)=x$ sur $[0,1]$ admet un minimum en $0$ et un maximum en $1$, alors que $f'=1$. Aux bornes de l'intervalle, on étudie les extremums à part.