Exercice 13 · Théorème de Darboux : une dérivée vérifie les valeurs intermédiaires
approfondissement●●●Soient $a<b$ et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ dérivable sur $[a,b]$ (en $a$ et $b$, il s'agit de dérivées à droite et à gauche). On ne suppose pas $f'$ continue.
- On suppose $f'(a)<0<f'(b)$. Montrer que ni $f(a)$ ni $f(b)$ n'est le minimum de $f$ sur $[a,b]$, puis qu'il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
- Soit $\lambda$ un réel strictement compris entre $f'(a)$ et $f'(b)$. Montrer qu'il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $f'(c)=\lambda$.
- Montrer que la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x)=0$ si $x<0$ et $H(x)=1$ si $x \ge 0$ n'est la dérivée d'aucune fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
Comme $\tau_a(x) \to f'(a)<0$ quand $x \to a^+$, le taux est strictement négatif pour $x$ proche de $a$ : quel est alors le signe de $f(x)-f(a)$ ?
$f$ est continue sur un segment : elle atteint son minimum. Où peut-il être ?
Pour la question 2, introduire $g(x)=f(x)-\lambda x$.
- $f$ est dérivable donc continue sur $[a,b]$.
En $a$ : $\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \to f'(a)<0$ quand $x \to a^+$. Par définition de la limite, il existe $\eta>0$ tel que $\tau_a(x)<0$ pour tout $x \in\, ]a,a+\eta] \cap [a,b]$. Pour un tel $x$, $x-a>0$ donc $f(x)<f(a)$ : $f(a)$ n'est pas le minimum.
En $b$ : $\tau_b(x) \to f'(b)>0$ quand $x \to b^-$, donc il existe $x \in\, ]a,b[$ proche de $b$ avec $\tau_b(x)>0$. Comme $x-b<0$, on obtient $f(x)-f(b)<0$ : $f(b)$ n'est pas le minimum.
Par le théorème des bornes atteintes, $f$ atteint son minimum sur $[a,b]$ en un point $c$, qui n'est ni $a$ ni $b$ : $c \in\, ]a,b[$ est intérieur. $f$ y admet un minimum (global donc local) et y est dérivable, donc $f'(c)=0$.
- On pose $g(x)=f(x)-\lambda x$, dérivable sur $[a,b]$ avec $g'=f'-\lambda$.
- Si $f'(a)<\lambda<f'(b)$ : $g'(a)<0<g'(b)$ et la question 1 appliquée à $g$ fournit $c \in\, ]a,b[$ avec $g'(c)=0$, soit $f'(c)=\lambda$.
- Si $f'(b)<\lambda<f'(a)$ : on applique la question 1 à $-g$, qui vérifie $(-g)'(a)=\lambda-f'(a)<0$ et $(-g)'(b)=\lambda-f'(b)>0$. On obtient $c \in\, ]a,b[$ avec $g'(c)=0$, soit $f'(c)=\lambda$.
- Supposons qu'il existe $F$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $F'=H$. Sur $[-1,1]$, $F$ est dérivable, $F'(-1)=0$ et $F'(1)=1$. Le réel $\lambda=\frac12$ est strictement compris entre ces valeurs ; la question 2 donne $c \in\, ]-1,1[$ tel que $H(c)=\frac12$. C'est impossible car $H$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$. Donc $H$ n'est la dérivée d'aucune fonction.
Bilan : une dérivée n'est pas forcément continue (exemple de $x^2\sin\frac1x$ du cours), mais elle ne peut pas présenter de saut.
Pour tout $\lambda$ strictement entre $f'(a)$ et $f'(b)$, il existe $c \in\, ]a,b[$ avec $f'(c)=\lambda$ ; $H$ n'est pas une dérivée