Prépa, 1re année › Dérivabilité › Théorème de Rolle

Théorème de Rolle : énoncé (MPSI)

Théorème

Théorème de Rolle

Soient $a<b$ et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, avec $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.

Démonstration : Théorème de Rolle

Démonstration

Preuve

$f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : elle est bornée et atteint ses bornes $m=\min f$ et $M=\max f$.

Si $m$ et $M$ sont tous deux atteints aux extrémités, alors, comme $f(a)=f(b)$, on a $m=M$ : $f$ est constante, et tout $c \in\, ]a,b[$ convient.
Sinon, l'un des deux est atteint en un point $c \in\, ]a,b[$. Ce point est intérieur à $[a,b]$, $f$ y admet un extremum (global donc local) et $f$ est dérivable en $c$. Par la condition nécessaire, $f'(c)=0$.

Remarque

Interprétation et échec pour les fonctions complexes

Géométriquement : entre deux points de même hauteur, le graphe admet au moins une tangente horizontale.

Le théorème est faux pour les fonctions à valeurs complexes : $f(t)=e^{it}$ sur $[0,2\pi]$ vérifie $f(0)=f(2\pi)=1$, mais $f'(t)=ie^{it}$ ne s'annule jamais ($|f'(t)|=1$). La preuve utilise l'ordre de $\mathbb{R}$ (maximum, minimum).

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Dans le cours

Dérivabilité : Théorème de Rolle