Prépa, 1re année › Dérivabilité › Rolle itéré
Rolle itéré : énoncé (MPSI)
Propriété
Rolle itéré
Si $f : I \to \mathbb{R}$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et s'annule en $n+1$ points distincts de $I$, alors $f^{(n)}$ s'annule au moins une fois sur $I$ (en un point strictement compris entre le plus petit et le plus grand zéro).
Démonstration : Rolle itéré
Démonstration
Preuve
Notons $x_0<x_1<\dots<x_n$ les zéros. Pour chaque $i \in \{0,\dots,n-1\}$, Rolle sur $[x_i,x_{i+1}]$ fournit $y_i \in\, ]x_i,x_{i+1}[$ avec $f'(y_i)=0$. Les intervalles ouverts sont disjoints, donc $y_0<y_1<\dots<y_{n-1}$ : $f'$ a au moins $n$ zéros distincts dans $]x_0,x_n[$. En répétant l'argument (récurrence sur $n$), $f^{(k)}$ a au moins $n+1-k$ zéros distincts dans $]x_0,x_n[$ ; pour $k=n$, on obtient un zéro de $f^{(n)}$.
S’entraîner
- Racines de la dérivée d'un polynôme à racines connues
- Nombre de racines de $x^n+ax+b$
- Examen : racines des polynômes de Legendre (esprit CCINP)