Prépa, 1re année › Dérivabilité › Égalité des accroissements finis
Égalité des accroissements finis : énoncé (MPSI)
Théorème
Égalité des accroissements finis
Soient $a<b$ et $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a).$$ Géométriquement : il existe une tangente parallèle à la corde joignant $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$.
Démonstration : Égalité des accroissements finis
Démonstration
Preuve
On pose $p=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et $g(x)=f(x)-p\,(x-a)$ pour $x \in [a,b]$. La fonction $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ avec $g'(x)=f'(x)-p$. De plus $g(a)=f(a)$ et $g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)$. Le théorème de Rolle donne $c \in\, ]a,b[$ tel que $g'(c)=0$, soit $f'(c)=p$, ce qui est l'égalité annoncée.
S’entraîner
- Encadrement de l'arctangente
- Deux limites par les accroissements finis
- Suite récurrente contractante et nombre d'or