Prépa, 1re année › Déterminants › Décomposer une permutation en cycles
Décomposer une permutation en cycles : méthode (MPSI)
Méthode
Décomposer une permutation en cycles
- On part du plus petit élément $a$ non encore traité et non fixe.
- On calcule $\sigma(a),\sigma^2(a),\dots$ jusqu'à revenir à $a$ : on obtient le cycle $(a\ \sigma(a)\ \cdots)$.
- On recommence avec le plus petit élément non encore rencontré, jusqu'à épuisement. Les points fixes n'apparaissent pas.
Exemple
Une décomposition
Soit $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&5&1&2&4\end{pmatrix}$.
En partant de $1$ : $1\mapsto 3\mapsto 1$, d'où le cycle $(1\ 3)$. En partant de $2$ : $2\mapsto 5\mapsto 4\mapsto 2$, d'où le cycle $(2\ 5\ 4)$. Donc $$\sigma=(1\ 3)(2\ 5\ 4)=(2\ 5\ 4)(1\ 3).$$
S’entraîner
- Décomposition et signature d'une permutation de S_8
- Signature de la permutation miroir
- Matrices de permutation (type CCINP)