On considère $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\4&6&1&7&2&8&3&5\end{pmatrix}\in\mathcal S_8.$$
- Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
- En déduire la signature de $\sigma$, puis écrire $\sigma$ comme produit de transpositions.
- Donner le tableau de $\sigma^{-1}$ et sa décomposition en cycles à supports disjoints.
- Calculer $\sigma^2$ et déterminer le plus petit entier $k\geqslant1$ tel que $\sigma^k=\mathrm{id}$.
Partir de $1$ et calculer $\sigma(1),\sigma^2(1),\dots$ jusqu'à revenir à $1$, puis recommencer avec le plus petit élément non rencontré.
Un cycle de longueur $p$ a pour signature $(-1)^{p-1}$ et s'écrit $(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdots(a_{p-1}\ a_p)$.
Deux cycles à supports disjoints commutent : $\sigma^k$ est le produit des puissances $k$-ièmes des cycles.
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En partant de $1$ : $\sigma(1)=4$, $\sigma(4)=7$, $\sigma(7)=3$, $\sigma(3)=1$. On obtient le cycle $(1\ 4\ 7\ 3)$. Le plus petit élément non rencontré est $2$ : $\sigma(2)=6$, $\sigma(6)=8$, $\sigma(8)=5$, $\sigma(5)=2$, d'où le cycle $(2\ 6\ 8\ 5)$. Les huit éléments ont été rencontrés, donc $$\sigma=(1\ 4\ 7\ 3)(2\ 6\ 8\ 5),$$ les deux cycles commutant car leurs supports sont disjoints.
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La signature est un morphisme et un cycle de longueur $p$ a pour signature $(-1)^{p-1}$, donc $$\varepsilon(\sigma)=(-1)^3\times(-1)^3=1.$$ Avec $(a_1\ \cdots\ a_p)=(a_1\ a_2)(a_2\ a_3)\cdots(a_{p-1}\ a_p)$ : $$\sigma=(1\ 4)(4\ 7)(7\ 3)(2\ 6)(6\ 8)(8\ 5).$$ On trouve six transpositions, nombre pair, ce qui est cohérent avec $\varepsilon(\sigma)=1$.
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On a $\sigma^{-1}(k)=l$ si et seulement si $\sigma(l)=k$. On lit : $\sigma(3)=1$, $\sigma(5)=2$, $\sigma(7)=3$, $\sigma(1)=4$, $\sigma(8)=5$, $\sigma(2)=6$, $\sigma(4)=7$, $\sigma(6)=8$. D'où $$\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\3&5&7&1&8&2&4&6\end{pmatrix}.$$ L'inverse d'un cycle s'obtient en parcourant ses éléments en sens inverse, et $(\gamma_1\gamma_2)^{-1}=\gamma_2^{-1}\gamma_1^{-1}=\gamma_1^{-1}\gamma_2^{-1}$ puisque les cycles disjoints commutent. Donc $\sigma^{-1}=(1\ 3\ 7\ 4)(2\ 5\ 8\ 6)$, ce que confirme le tableau.
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Posons $\gamma_1=(1\ 4\ 7\ 3)$ et $\gamma_2=(2\ 6\ 8\ 5)$. Comme ils commutent, $\sigma^k=\gamma_1^k\gamma_2^k$ pour tout $k$. Le carré d'un cycle $(a\ b\ c\ d)$ envoie $a$ sur $c$, $b$ sur $d$, $c$ sur $a$, $d$ sur $b$ : c'est $(a\ c)(b\ d)$. Ainsi $$\sigma^2=(1\ 7)(4\ 3)(2\ 8)(6\ 5).$$ Un cycle de longueur $4$ vérifie $\gamma^4=\mathrm{id}$, donc $\sigma^4=\mathrm{id}$. Par ailleurs $\sigma\neq\mathrm{id}$, $\sigma^2\neq\mathrm{id}$ d'après le calcul, et $\sigma^3(1)=\sigma(\sigma(4))=\sigma(7)=3\neq1$, donc $\sigma^3\neq\mathrm{id}$. Le plus petit entier cherché est $k=4$.
$\sigma=(1\ 4\ 7\ 3)(2\ 6\ 8\ 5)$, $\varepsilon(\sigma)=1$, $\sigma^{-1}=(1\ 3\ 7\ 4)(2\ 5\ 8\ 6)$, $\sigma^2=(1\ 7)(3\ 4)(2\ 8)(5\ 6)$, $k=4$