On note $(E_1,\dots,E_n)$ la base canonique $\mathcal B_c$ de $\mathbb R^n$. Pour $\sigma\in\mathcal S_n$, on note $P_\sigma\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ la matrice de colonnes $E_{\sigma(1)},\dots,E_{\sigma(n)}$, c'est-à-dire $(P_\sigma)_{ij}=\delta_{i,\sigma(j)}$.
- Montrer que $P_\sigma E_k=E_{\sigma(k)}$ pour tout $k$, puis que $P_\sigma P_{\sigma'}=P_{\sigma\sigma'}$. En déduire que $P_\sigma$ est inversible d'inverse $P_{\sigma^{-1}}$.
- Montrer que $\det P_\sigma=\varepsilon(\sigma)$.
- Montrer que $P_\sigma^T=P_{\sigma^{-1}}$.
- Soit $A=(a_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Montrer que $P_\sigma^TAP_\sigma=(a_{\sigma(i)\sigma(j)})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$, puis que $\det(a_{\sigma(i)\sigma(j)})=\det A$.
- a) Pour $\sigma=(1\ 2\ 3)\in\mathcal S_3$, écrire $P_\sigma$ et calculer $\det(I_3+P_\sigma)$. b) Pour $\tau=(1\ 2\ 3\ 4)\in\mathcal S_4$, calculer $P_\tau X$ pour $X=E_1-E_2+E_3-E_4$ et en déduire $\det(I_4+P_\tau)$.
Le produit $ME_k$ est la $k$-ième colonne de $M$ ; la $j$-ième colonne de $P_\sigma P_{\sigma'}$ est $P_\sigma$ appliquée à la $j$-ième colonne de $P_{\sigma'}$.
Le déterminant de $P_\sigma$ est $\det_{\mathcal B_c}(E_{\sigma(1)},\dots,E_{\sigma(n)})$.
Pour 4, écrire le coefficient $(i,j)$ comme une double somme de symboles de Kronecker. Pour 5b, un vecteur non nul du noyau suffit.
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$P_\sigma E_k$ est la $k$-ième colonne de $P_\sigma$, soit $E_{\sigma(k)}$. La $j$-ième colonne de $P_\sigma P_{\sigma'}$ est $P_\sigma E_{\sigma'(j)}=E_{\sigma(\sigma'(j))}$, qui est la $j$-ième colonne de $P_{\sigma\sigma'}$. Donc $P_\sigma P_{\sigma'}=P_{\sigma\sigma'}$. Comme $P_{\mathrm{id}}=I_n$, on obtient $P_\sigma P_{\sigma^{-1}}=P_{\sigma^{-1}}P_\sigma=P_{\mathrm{id}}=I_n$ : $P_\sigma$ est inversible d'inverse $P_{\sigma^{-1}}$.
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Par définition du déterminant d'une matrice et par l'effet d'une permutation sur la forme alternée $\det_{\mathcal B_c}$ : $$\det P_\sigma=\det\nolimits_{\mathcal B_c}(E_{\sigma(1)},\dots,E_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)\det\nolimits_{\mathcal B_c}(E_1,\dots,E_n)=\varepsilon(\sigma).$$
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$(P_\sigma^T)_{ij}=(P_\sigma)_{ji}=\delta_{j,\sigma(i)}$ et $(P_{\sigma^{-1}})_{ij}=\delta_{i,\sigma^{-1}(j)}$. Or $j=\sigma(i)$ si et seulement si $i=\sigma^{-1}(j)$ : les coefficients sont égaux, donc $P_\sigma^T=P_{\sigma^{-1}}$.
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Le coefficient $(i,j)$ de $P_\sigma^TAP_\sigma$ est $$\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(P_\sigma^T)_{ik}\,a_{kl}\,(P_\sigma)_{lj}=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n\delta_{k,\sigma(i)}\,a_{kl}\,\delta_{l,\sigma(j)}=a_{\sigma(i)\sigma(j)}.$$ Par multiplicativité, et avec $\det(P_\sigma^T)=\det P_\sigma=\varepsilon(\sigma)$ : $$\det(a_{\sigma(i)\sigma(j)})=\varepsilon(\sigma)\det A\,\varepsilon(\sigma)=\varepsilon(\sigma)^2\det A=\det A.$$
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a) $\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=3$, $\sigma(3)=1$, donc $P_\sigma$ a pour colonnes $E_2,E_3,E_1$ : $$P_\sigma=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad I_3+P_\sigma=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$$ En développant selon la première ligne : $\det(I_3+P_\sigma)=1\cdot(1-0)-0+1\cdot(1-0)=2$.
b) Par linéarité et la question 1 : $$P_\tau X=E_{\tau(1)}-E_{\tau(2)}+E_{\tau(3)}-E_{\tau(4)}=E_2-E_3+E_4-E_1=-X.$$ Donc $(I_4+P_\tau)X=0$ avec $X\neq0$ : la matrice $I_4+P_\tau$ n'est pas inversible, et $\det(I_4+P_\tau)=0$.
$\det P_\sigma=\varepsilon(\sigma)$, $P_\sigma^{-1}=P_\sigma^T=P_{\sigma^{-1}}$ ; $\det(I_3+P_{(1\ 2\ 3)})=2$ ; $\det(I_4+P_{(1\ 2\ 3\ 4)})=0$