Prépa, 1re année › Déterminants › Signature d'un cycle, de l'inverse
Signature d'un cycle, de l'inverse : énoncé (MPSI)
Propriété
Signature d'un cycle, de l'inverse
- Un cycle de longueur $p$ a pour signature $(-1)^{p-1}$.
- Pour tout $\sigma\in\mathcal S_n$, $\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\sigma)$.
Démonstration. Un cycle de longueur $p$ est produit de $p-1$ transpositions. Ensuite $\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma^{-1})=\varepsilon(\mathrm{id})=1$ et $\varepsilon(\sigma)=\pm1$.
Remarque
Inversions
Une inversion de $\sigma$ est un couple $(i,j)$ avec $i<j$ et $\sigma(i)>\sigma(j)$. Dans le produit définissant $\varepsilon(\sigma)$, les facteurs négatifs correspondent exactement aux inversions, d'où $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}$ où $N(\sigma)$ est le nombre d'inversions. Cette formule est pratique pour de petites permutations.
S’entraîner
- Décomposition et signature d'une permutation de S_8
- Signature de la permutation miroir
- Inverse par la comatrice et matrices à coefficients entiers
- Matrices de permutation (type CCINP)