Application : interpolation de Lagrange : énoncé (MPSI)

Soit $x_1,\dots,x_n\in\mathbb K$ deux à deux distincts et $y_1,\dots,y_n\in\mathbb K$. Il existe un unique polynôme $P\in\mathbb K_{n-1}[X]$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour tout $i$.

Démonstration. L'application $\varphi:P\mapsto(P(x_1),\dots,P(x_n))$ est linéaire de $\mathbb K_{n-1}[X]$ dans $\mathbb K^n$. L'image de $X^{j-1}$ est $(x_1^{j-1},\dots,x_n^{j-1})$ : la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques est la matrice de Vandermonde, de déterminant non nul. Donc $\varphi$ est bijective.