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Déterminant triangulaire par blocs : énoncé (MPSI)

Théorème

Déterminant triangulaire par blocs

Soit $A\in\mathcal M_p(\mathbb K)$, $B\in\mathcal M_q(\mathbb K)$ et $C\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb K)$. Alors $$\det\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}=\det A\,\det B.$$ Par récurrence, le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (blocs diagonaux carrés) est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Le résultat vaut aussi pour une matrice triangulaire inférieure par blocs, par transposition.

Démonstration : Déterminant triangulaire par blocs

Démonstration

Démonstration

Notons $M$ la matrice par blocs.

Cas $\det A=0$. Les colonnes de $A$ sont liées : il existe $(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\neq0$ tel que $\sum_k\lambda_kA_k=0$, où $A_k$ est la $k$-ième colonne de $A$. Les $p$ premières colonnes de $M$ sont de la forme $\begin{pmatrix}A_k\\0\end{pmatrix}$ et vérifient la même relation : elles sont liées, donc $\det M=0=\det A\det B$.

Cas $\det A\neq0$. Un produit par blocs donne $$\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\0&I_q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_p&A^{-1}C\\0&B\end{pmatrix}.$$

En développant $q$ fois selon la dernière colonne (qui vaut à chaque fois le dernier vecteur de la base canonique, de cofacteur de signe $+$), $\det\begin{pmatrix}A&0\\0&I_q\end{pmatrix}=\det A$.
En développant $p$ fois selon la première colonne (qui vaut à chaque fois le premier vecteur de la base canonique, de signe $+$), $\det\begin{pmatrix}I_p&A^{-1}C\\0&B\end{pmatrix}=\det B$ : à chaque étape, on retire la première ligne et la première colonne, et la matrice restante a la même forme avec $I_{p-1}$.

La multiplicativité du déterminant conclut.

Exemple

Application directe

$$\det\begin{pmatrix}1&2&5&7\\3&4&6&8\\0&0&2&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\det\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=(4-6)(2-1)=-2.$$

Attention

Pas de formule générale pour quatre blocs

Pour une matrice $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ avec $C\neq0$, on n'a pas en général $\det=\det A\det D-\det B\det C$. Contre-exemple avec $A=D=0$ et $B=C=I_2$ : la matrice $\begin{pmatrix}0&I_2\\I_2&0\end{pmatrix}$ s'obtient à partir de $I_4$ par les échanges de colonnes $C_1\leftrightarrow C_3$ et $C_2\leftrightarrow C_4$, donc son déterminant vaut $(-1)^2=1$, alors que $\det A\det D-\det B\det C=-1$.

S’entraîner

Dans le cours

Déterminants : Déterminant triangulaire par blocs