Exercice corrigé : Perturbation par la matrice Attila

Soit $n\geqslant2$, $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb K$ et $a,b\in\mathbb K$ avec $a\neq b$. On note $M\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ la matrice de coefficients $m_{ii}=\lambda_i$, $m_{ij}=a$ si $i<j$, $m_{ij}=b$ si $i>j$. On note $J\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$, et on pose, pour $x\in\mathbb K$, $$D(x)=\det(M+xJ),\qquad P(x)=\prod_{i=1}^n(\lambda_i-x).$$

1. Montrer qu'il existe $\alpha,\beta\in\mathbb K$ tels que $D(x)=\alpha+\beta x$ pour tout $x\in\mathbb K$.
2. Calculer $D(-a)$ et $D(-b)$ en fonction de $P$.
3. En déduire que $$\det M=\frac{b\,P(a)-a\,P(b)}{b-a}.$$
4. Application : calculer $\det\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&2&-1\\1&1&3\end{pmatrix}$, puis vérifier par un calcul direct.