Valeur du déterminant de Vandermonde : énoncé (MPSI)

Pour $n=1$, $V(x_1)=1$ et le produit vide vaut $1$. Soit $n\geqslant2$ ; supposons la formule vraie au rang $n-1$.

On effectue successivement $C_n\leftarrow C_n-x_1C_{n-1}$, puis $C_{n-1}\leftarrow C_{n-1}-x_1C_{n-2}$, …, jusqu'à $C_2\leftarrow C_2-x_1C_1$. Chaque opération utilise une colonne pas encore modifiée, donc le déterminant est inchangé. Le coefficient $(i,k)$ devient, pour $k\geqslant2$ : $$x_i^{k-1}-x_1x_i^{k-2}=x_i^{k-2}(x_i-x_1).$$ La première ligne devient $(1,0,\dots,0)$. En développant selon cette ligne : $$V(x_1,\dots,x_n)=\det\big(x_i^{k-2}(x_i-x_1)\big)_{2\leqslant i,k\leqslant n}.$$ Par linéarité par rapport à chaque ligne, on factorise $x_i-x_1$ dans la ligne d'indice $i$ : $$V(x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=2}^n(x_i-x_1)\;\det\big(x_i^{k-2}\big)_{2\leqslant i,k\leqslant n}=\prod_{i=2}^n(x_i-x_1)\;V(x_2,\dots,x_n).$$ L'hypothèse de récurrence donne $V(x_2,\dots,x_n)=\prod_{2\leqslant i<j\leqslant n}(x_j-x_i)$, d'où la formule au rang $n$.

Enfin, le produit est non nul si et seulement si aucun facteur $x_j-x_i$ ($i<j$) n'est nul.