Prépa, 1re année › Dimension finie › Encadrement du rang
Encadrement du rang : énoncé (MPSI)
Propriété
Encadrement du rang
- $\operatorname{rg}(x_1, \dots, x_p) \leq p$, avec égalité si et seulement si la famille est libre.
- Si $E$ est de dimension $n$ : $\operatorname{rg}(x_1, \dots, x_p) \leq n$, avec égalité si et seulement si la famille engendre $E$.
Démonstration : Encadrement du rang
Démonstration
Preuve
Notons $V = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$. La famille $(x_1, \dots, x_p)$ engendre $V$, donc $\dim V \leq p$, avec égalité si et seulement si c'est une base de $V$ (caractérisation par le cardinal), c'est-à-dire si et seulement si elle est libre.
Si $\dim E = n$, $V \subset E$ donne $\dim V \leq n$, avec égalité si et seulement si $V = E$, c'est-à-dire si la famille engendre $E$.
S’entraîner
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- Formule de Grassmann dans $\mathbb{R}^4$