Dans $\mathbb{R}^4$, on pose $a_1 = (1,0,1,0)$, $a_2 = (0,1,0,1)$, $b_1 = (1,1,0,0)$, $b_2 = (0,0,1,1)$, puis $F = \operatorname{Vect}(a_1, a_2)$ et $G = \operatorname{Vect}(b_1, b_2)$.
- Donner $\dim F$ et $\dim G$.
- Calculer $\operatorname{rg}(a_1, a_2, b_1, b_2)$ et en déduire $\dim(F + G)$.
- En déduire $\dim(F \cap G)$, puis une base de $F \cap G$.
- Déterminer une équation de $F + G$.
- $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires dans $\mathbb{R}^4$ ?
$F + G$ est engendré par la concaténation des familles génératrices de $F$ et de $G$.
Comparer $a_1 + a_2$ et $b_1 + b_2$.
Un vecteur non nul de $F \cap G$ suffit pour une base si la dimension vaut $1$.
1. $a_1$ et $a_2$ ne sont pas colinéaires, donc $(a_1, a_2)$ est libre et $\dim F = 2$. De même $\dim G = 2$.
2. On a $a_1 + a_2 = (1,1,1,1) = b_1 + b_2$, donc $b_2 = a_1 + a_2 - b_1$ et $\operatorname{Vect}(a_1, a_2, b_1, b_2) = \operatorname{Vect}(a_1, a_2, b_1)$. On échelonne : $b_1 - a_1 = (0, 1, -1, 0)$, puis $(b_1 - a_1) - a_2 = (0, 0, -1, -1)$. La famille $\big((1,0,1,0), (0,1,0,1), (0,0,-1,-1)\big)$ est échelonnée, de vecteurs non nuls, donc libre. Ainsi $\operatorname{rg}(a_1, a_2, b_1, b_2) = 3$.
Comme $F + G = \operatorname{Vect}(a_1, a_2, b_1, b_2)$, on obtient $\dim(F + G) = 3$.
3. Par la formule de Grassmann, $$\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) = 2 + 2 - 3 = 1.$$ Le vecteur $c = (1,1,1,1) = a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ appartient à $F$ et à $G$, et il est non nul. Donc $F \cap G = \operatorname{Vect}(c)$.
4. $F + G$ est un hyperplan de $\mathbb{R}^4$. On cherche $(\alpha, \beta, \gamma, \delta) \neq 0$ tel que $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta t = 0$ soit vérifiée par $a_1$, $a_2$, $b_1$ : $\alpha + \gamma = 0$, $\beta + \delta = 0$, $\alpha + \beta = 0$. Avec $\alpha = 1$ : $\gamma = -1$, $\beta = -1$, $\delta = 1$. L'hyperplan $K : x - y - z + t = 0$ contient $a_1, a_2, b_1$, donc $F + G \subset K$ ; les deux sont de dimension $3$, donc $F + G = K$. Contrôle : $b_2$ vérifie $0 - 0 - 1 + 1 = 0$.
5. Non : $F \cap G \neq \{0\}$ (et $F + G \neq \mathbb{R}^4$). La somme n'est pas directe.
$\dim(F+G) = 3$, $F+G : x - y - z + t = 0$, $F \cap G = \operatorname{Vect}((1,1,1,1))$, non supplémentaires