Déterminer noyau, image et rangAppliquer le théorème du rangMontrer que deux sous-espaces sont supplémentaires
Soit $u : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $u(x,y,z) = (x + y, \; y + z, \; x - z)$. On admet que $u$ est linéaire.
- Déterminer $\operatorname{Ker} u$ et en déduire $\operatorname{rg} u$.
- Donner une base de $\operatorname{Im} u$, puis une équation de $\operatorname{Im} u$.
- Montrer que $\mathbb{R}^3 = \operatorname{Ker} u \oplus \operatorname{Im} u$.
Indice 1
Résoudre le système $u(x,y,z) = 0$ en exprimant $x$ et $z$ en fonction de $y$.
Indice 2
$\operatorname{Im} u$ est engendrée par $u(e_1)$, $u(e_2)$, $u(e_3)$ ; on en garde $\operatorname{rg} u$ vecteurs libres.
Indice 3
Chercher une équation $\alpha X + \beta Y + \gamma Z = 0$ vérifiée par les vecteurs de la base de l'image, puis conclure par un argument de dimension.
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