Étudier une famille de polynômesReconnaître un hyperplanMontrer l'égalité de deux sous-espaces par inclusion et dimension
Dans $\mathbb{R}_2[X]$, on considère $P_1 = X^2 + X$, $P_2 = X^2 - 1$ et $P_3 = X + 1$, ainsi que $H = \{P \in \mathbb{R}_2[X] : P(-1) = 0\}$.
- La famille $(P_1, P_2, P_3)$ est-elle une base de $\mathbb{R}_2[X]$ ?
- Déterminer son rang.
- Montrer que $\operatorname{Vect}(P_1, P_2, P_3) = H$.
- Compléter $(P_1, P_3)$ en une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
Indice 1
Calculer $P_1 - P_2$.
Indice 2
Évaluer les trois polynômes en $-1$.
Indice 3
$H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle : quelle est sa dimension ?
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