Soit $a \in \mathbb{R}$. Dans $\mathbb{R}^3$, on pose $w_1 = (1,1,a)$, $w_2 = (1,a,1)$ et $w_3 = (a,1,1)$.
- Déterminer, selon la valeur de $a$, le rang de la famille $(w_1, w_2, w_3)$.
- Pour quelles valeurs de $a$ cette famille est-elle une base de $\mathbb{R}^3$ ?
- Pour $a = -2$, donner une relation de liaison entre $w_1$, $w_2$, $w_3$.
Utiliser $w_1$ pour annuler la première coordonnée de $w_2$ et de $w_3$.
Les deux vecteurs obtenus ont un facteur commun $a - 1$ : traiter à part le cas $a = 1$.
Pour $a \neq 1$, après division par ce facteur, une dernière soustraction fait apparaître $a + 2$.
1. On remplace $w_2$ par $w_2' = w_2 - w_1 = (0, \, a - 1, \, 1 - a)$ et $w_3$ par $w_3' = w_3 - a w_1 = (0, \, 1 - a, \, 1 - a^2)$. Ces opérations conservent le rang.
Cas $a = 1$. On a $w_2' = w_3' = 0$, donc le rang est celui de $(w_1)$, avec $w_1 = (1,1,1) \neq 0$ : le rang vaut $1$. (En effet $w_1 = w_2 = w_3$.)
Cas $a \neq 1$. On multiplie $w_2'$ par $\frac{1}{a - 1} \neq 0$ et $w_3'$ par $\frac{1}{1 - a} \neq 0$, en utilisant $1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$ : $$w_2'' = (0, 1, -1), \qquad w_3'' = (0, 1, 1 + a).$$ Puis on remplace $w_3''$ par $w_3'' - w_2'' = (0, 0, 2 + a)$. Le rang est celui de la famille échelonnée $\big((1,1,a), (0,1,-1), (0, 0, a + 2)\big)$.
- Si $a \neq -2$, les trois vecteurs sont non nuls et échelonnés : le rang vaut $3$.
- Si $a = -2$, le dernier vecteur est nul et les deux premiers sont échelonnés non nuls : le rang vaut $2$.
Bilan. $\operatorname{rg}(w_1, w_2, w_3) = 3$ si $a \notin \{1, -2\}$, $= 1$ si $a = 1$, $= 2$ si $a = -2$.
2. La famille compte $3 = \dim \mathbb{R}^3$ vecteurs ; c'est une base si et seulement si son rang vaut $3$, c'est-à-dire si et seulement si $a \notin \{1, -2\}$.
3. Pour $a = -2$ : $w_1 + w_2 + w_3 = (1 + 1 - 2, \; 1 - 2 + 1, \; -2 + 1 + 1) = (0,0,0)$. Une relation de liaison est $w_1 + w_2 + w_3 = 0$.
rang $3$ si $a \notin \{1,-2\}$, $1$ si $a = 1$, $2$ si $a = -2$