Prépa, 1re année › Ensembles et applications › Produit cartésien
Produit cartésien : définition (MPSI)
Définition
Produit cartésien
Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est l'ensemble des couples : $$E \times F = \{(x, y) \mid x \in E,\ y \in F\}.$$ Deux couples sont égaux si et seulement si leurs composantes le sont : $(x, y) = (x', y') \iff (x = x' \text{ et } y = y')$.
Plus généralement, $E_1 \times \dots \times E_n$ est l'ensemble des $n$-uplets $(x_1, \dots, x_n)$ avec $x_k \in E_k$ pour tout $k$. On note $E^n = E \times \dots \times E$ ($n$ facteurs).
Attention
Pièges du produit cartésien
- En général $E \times F \neq F \times E$ : $(1, 2) \neq (2, 1)$. L'ordre des composantes compte, contrairement à la paire $\{1, 2\} = \{2, 1\}$.
- Une partie de $E \times F$ n'est pas forcément un produit $A \times B$. Le disque $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$ n'en est pas un : sinon, contenant $(1, 0)$ et $(0, 1)$, il contiendrait $(1, 1)$.