Règles de calcul : énoncé (MPSI)
Règles de calcul
Pour $A, B, C \in \mathcal{P}(E)$ :
- $\cup$ et $\cap$ sont commutatives et associatives ;
- distributivité : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ et $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ ;
- $\overline{\overline{A}} = A$ et $A \setminus B = A \cap \overline{B}$ ;
- $A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$ ;
- lois de De Morgan : $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}.$$
Démonstration : Règles de calcul
Lois de De Morgan et distributivité
Chaque opération sur les ensembles traduit un connecteur logique : $\cup$ pour « ou », $\cap$ pour « et », le complémentaire pour « non ». Soit $x \in E$. $$\begin{aligned} x \in \overline{A \cup B} &\iff \text{non}(x \in A \text{ ou } x \in B) \\ &\iff (x \notin A \text{ et } x \notin B) \\ &\iff (x \in \overline{A} \text{ et } x \in \overline{B}) \iff x \in \overline{A} \cap \overline{B}. \end{aligned}$$ Donc $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$. En appliquant ce résultat à $\overline{A}$ et $\overline{B}$, on obtient $\overline{\overline{A} \cup \overline{B}} = A \cap B$, puis en passant au complémentaire $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$.
Pour la distributivité, on utilise que « et » est distributif sur « ou » : $$\begin{aligned} x \in A \cap (B \cup C) &\iff x \in A \text{ et } (x \in B \text{ ou } x \in C) \\ &\iff (x \in A \text{ et } x \in B) \text{ ou } (x \in A \text{ et } x \in C) \\ &\iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C). \end{aligned}$$ La seconde formule se démontre de même, avec la distributivité de « ou » sur « et ».