Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\ (x, y) \mapsto (x + y,\ xy)$.
- $f$ est-elle injective ? surjective ?
- Montrer que $\mathrm{Im}\, f = \Delta$, où $\Delta = \{(s, p) \in \mathbb{R}^2 \mid s^2 - 4p \geq 0\}$.
- Soit $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq y\}$ et $g : D \to \Delta,\ (x,y) \mapsto (x + y, xy)$. Justifier que $g$ est bien définie, puis montrer que $g$ est bijective et expliciter $g^{-1}$.
Comparer $f(1, 0)$ et $f(0, 1)$. Pour la surjectivité, tester $(0, 1)$.
Si $(s, p) = f(x, y)$, calculer $s^2 - 4p$ en fonction de $x - y$.
Pour l'injectivité de $g$, développer $(x - x')(x - y')$ en utilisant $x' + y' = x + y$ et $x'y' = xy$.
1. $f(1, 0) = (1, 0) = f(0, 1)$ avec $(1, 0) \neq (0, 1)$ : $f$ n'est pas injective. Si $(0, 1)$ avait un antécédent $(x, y)$, on aurait $y = -x$ et $xy = -x^2 = 1$, impossible dans $\mathbb{R}$. Donc $f$ n'est pas surjective.
2. Soit $(s, p) = f(x, y)$. Alors $s^2 - 4p = (x+y)^2 - 4xy = (x - y)^2 \geq 0$, donc $(s, p) \in \Delta$. Ainsi $\mathrm{Im}\, f \subset \Delta$. Réciproquement, soit $(s, p) \in \Delta$ et $\delta = \sqrt{s^2 - 4p}$. Posons $x = \frac{s + \delta}{2}$ et $y = \frac{s - \delta}{2}$. Alors $x + y = s$ et $xy = \frac{s^2 - \delta^2}{4} = \frac{4p}{4} = p$. Donc $(s, p) = f(x, y) \in \mathrm{Im}\, f$. Conclusion : $\mathrm{Im}\, f = \Delta$.
3. Par la question 2, $g(x, y) \in \Delta$ pour tout $(x, y) \in D$ : $g$ est bien définie.
Injectivité. Soit $(x, y), (x', y') \in D$ tels que $x + y = x' + y'$ et $xy = x'y'$. Alors $$(x - x')(x - y') = x^2 - x(x' + y') + x'y' = x^2 - x(x + y) + xy = 0.$$ Donc $x = x'$ ou $x = y'$.
- Si $x = x'$, alors $y = (x + y) - x = (x' + y') - x' = y'$.
- Si $x = y'$, alors $y = (x'+y') - y' = x'$. Avec $x \geq y$ et $x' \geq y'$ : $x = y' \leq x' = y \leq x$, donc toutes ces quantités sont égales, et $x = x'$, $y = y'$.
Dans les deux cas $(x, y) = (x', y')$ : $g$ est injective.
Surjectivité. Pour $(s, p) \in \Delta$, le couple $(x, y)$ construit à la question 2 vérifie $x - y = \delta \geq 0$, donc $(x, y) \in D$ et $g(x, y) = (s, p)$.
Ainsi $g$ est bijective, et $$g^{-1}(s, p) = \left(\frac{s + \sqrt{s^2 - 4p}}{2},\ \frac{s - \sqrt{s^2 - 4p}}{2}\right).$$
$f$ ni injective ni surjective ; $\mathrm{Im}\, f = \{(s,p) \mid s^2 \geq 4p\}$ ; $g^{-1}(s,p) = \left(\frac{s + \sqrt{s^2-4p}}{2}, \frac{s - \sqrt{s^2-4p}}{2}\right)$