Exercice corrigé : Différence symétrique et indicatrices

Notons $a = \mathbf{1}_A$, $b = \mathbf{1}_B$, $c = \mathbf{1}_C$.

1. On a $\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_{A \cap \overline{B}} = a(1 - b)$ et de même $\mathbf{1}_{B \setminus A} = b(1 - a)$. Les parties $A \setminus B$ et $B \setminus A$ sont disjointes (un élément de la première n'est pas dans $B$, un élément de la seconde y est), donc le produit de leurs indicatrices est $\mathbf{1}_\varnothing = 0$ et $$\mathbf{1}_{A \Delta B} = a(1 - b) + b(1 - a) - 0 = a + b - 2ab.$$

2. $(1 - 2a)(1 - 2b) = 1 - 2a - 2b + 4ab = 1 - 2(a + b - 2ab) = 1 - 2\,\mathbf{1}_{A \Delta B}$.

3. En appliquant deux fois la question 2 : $$1 - 2\,\mathbf{1}_{(A \Delta B) \Delta C} = (1 - 2\,\mathbf{1}_{A \Delta B})(1 - 2c) = (1 - 2a)(1 - 2b)(1 - 2c),$$ $$1 - 2\,\mathbf{1}_{A \Delta (B \Delta C)} = (1 - 2a)(1 - 2\,\mathbf{1}_{B \Delta C}) = (1 - 2a)(1 - 2b)(1 - 2c).$$ Donc $\mathbf{1}_{(A \Delta B) \Delta C} = \mathbf{1}_{A \Delta (B \Delta C)}$, et comme deux parties de même indicatrice sont égales, $(A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)$.

4. $A \setminus A = \varnothing$, donc $A \Delta A = \varnothing$. $A \setminus \varnothing = A$ et $\varnothing \setminus A = \varnothing$, donc $A \Delta \varnothing = A$. Par ailleurs $\Delta$ est commutative (la définition est symétrique en $A$ et $B$), donc $\varnothing \Delta X = X$.

5. Analyse. Si $A \Delta X = B$, alors $A \Delta (A \Delta X) = A \Delta B$. Or, par associativité et la question 4, $$A \Delta (A \Delta X) = (A \Delta A) \Delta X = \varnothing \Delta X = X.$$ Donc $X = A \Delta B$ : il y a au plus une solution. Synthèse. $A \Delta (A \Delta B) = (A \Delta A) \Delta B = \varnothing \Delta B = B$, donc $X = A \Delta B$ est solution. L'unique solution est $X = A \Delta B$.

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