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Règles de calcul : énoncé (Maths expertes)
Propriété
Règles de calcul
Pour des matrices dont les tailles permettent les opérations et pour tout réel $\lambda$ :
- associativité : $(AB)C=A(BC)$ ;
- distributivité : $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$ ;
- $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda(AB)$ ;
- si $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $AI_n=I_nA=A$.
Ces propriétés sont admises.
Attention
Le produit n'est pas commutatif
Avec $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ : $$AB=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}\qquad BA=\begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}.$$ Donc en général $AB\neq BA$. Conséquences :
- $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$, et non $A^2+2AB+B^2$ (sauf si $AB=BA$) ;
- l'ordre des facteurs doit toujours être respecté.
De plus, un produit peut être nul sans qu'aucun facteur ne le soit : avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, on a $AB=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
S’entraîner
- Produits de matrices et non-commutativité
- Inverse d'une matrice 2×2 et résolution d'un système
- Vocabulaire d'un graphe non orienté