Les classes d'équivalence forment une partition : énoncé (MPSI)
Les classes d'équivalence forment une partition
Soit $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$.
- Pour $x, y \in E$ : $x \sim y \iff \overline{x} = \overline{y}$.
- Deux classes sont soit égales, soit disjointes.
- L'ensemble des classes d'équivalence est une partition de $E$.
Démonstration : Les classes d'équivalence forment une partition
Démonstration
1. Si $\overline{x} = \overline{y}$ : par réflexivité $y \in \overline{y} = \overline{x}$, donc $x \sim y$. Supposons $x \sim y$. Soit $z \in \overline{y}$, c'est-à-dire $y \sim z$. Par transitivité, $x \sim z$, donc $z \in \overline{x}$. Ainsi $\overline{y} \subset \overline{x}$. Par symétrie, $y \sim x$, et le même raisonnement donne $\overline{x} \subset \overline{y}$. Donc $\overline{x} = \overline{y}$.
2. Supposons $\overline{x} \cap \overline{y} \neq \varnothing$ et soit $z$ dans cette intersection : $x \sim z$ et $y \sim z$. Par symétrie $z \sim y$, puis par transitivité $x \sim y$. Par le point 1, $\overline{x} = \overline{y}$.
3. Chaque classe est non vide car $x \in \overline{x}$ (réflexivité). Tout $x \in E$ appartient à la classe $\overline{x}$, donc la réunion des classes est $E$. Enfin, deux classes distinctes sont disjointes par le point 2. C'est la définition d'une partition.
Réciproque et ensemble quotient
Inversement, une partition $(A_i)_{i \in I}$ de $E$ définit une relation d'équivalence : $x \sim y$ si $x$ et $y$ appartiennent à la même partie $A_i$. Ses classes sont exactement les $A_i$.
L'ensemble des classes d'équivalence, appelé ensemble quotient et noté $E/\!\sim$, n'est pas un objet exigible en première année ; il sera rencontré par exemple avec $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
S’entraîner
- Une relation d'équivalence sur $\mathbb{R}$
- Applications idempotentes et applications vérifiant $f \circ f \circ f = f$ (type Mines-Ponts)
Dans le cours
Ensembles et applications : Les classes d'équivalence forment une partition