Relation binaire : définition (MPSI)

Une relation binaire $\mathcal{R}$ sur un ensemble $E$ est la donnée d'une partie $G$ de $E \times E$. On note $x \,\mathcal{R}\, y$ lorsque $(x, y) \in G$. Une relation binaire peut être :

• réflexive : $\forall x \in E,\ x \,\mathcal{R}\, x$ ;
• symétrique : $\forall (x, y) \in E^2,\ x \,\mathcal{R}\, y \Rightarrow y \,\mathcal{R}\, x$ ;
• antisymétrique : $\forall (x, y) \in E^2,\ (x \,\mathcal{R}\, y \text{ et } y \,\mathcal{R}\, x) \Rightarrow x = y$ ;
• transitive : $\forall (x, y, z) \in E^3,\ (x \,\mathcal{R}\, y \text{ et } y \,\mathcal{R}\, z) \Rightarrow x \,\mathcal{R}\, z$.