Montrer qu'une relation est une relation d'équivalence : méthode (MPSI)

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Sur $\mathbb{Z}$, on pose $a \equiv b \ [n]$ si $n$ divise $b - a$, c'est-à-dire s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b - a = kn$.

• Réflexivité : $a - a = 0 = 0 \cdot n$.
• Symétrie : si $b - a = kn$, alors $a - b = (-k)n$.
• Transitivité : si $b - a = kn$ et $c - b = \ell n$, alors $c - a = (k + \ell) n$.

C'est une relation d'équivalence. Pour $n = 3$, il y a trois classes : $$\overline{0} = 3\mathbb{Z}, \quad \overline{1} = \{3k + 1 \mid k \in \mathbb{Z}\}, \quad \overline{2} = \{3k + 2 \mid k \in \mathbb{Z}\}.$$ Par division euclidienne, tout entier a pour reste $0$, $1$ ou $2$ dans la division par $3$, et appartient à une seule de ces classes. On a par exemple $\overline{4} = \overline{1} = \overline{-2}$.

Soit $f : E \to F$. La relation $x \sim y \iff f(x) = f(y)$ est une relation d'équivalence sur $E$, car l'égalité dans $F$ est réflexive, symétrique et transitive. La classe de $x$ est $f^{-1}(\{f(x)\})$, ensemble des éléments qui ont la même image que $x$.

Pour $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$, on a $x \sim y \iff x^2 = y^2 \iff y = x \text{ ou } y = -x$, donc $\overline{x} = \{x, -x\}$. La classe de $0$ est le singleton $\{0\}$, les autres ont deux éléments.