Structure de l'ensemble des solutions : énoncé (MPSI)
Structure de l'ensemble des solutions
Notons $L(y)=y'+a(x)y$ (ou $L(y)=y''+ay'+by$ au second ordre). Alors :
- $L$ est linéaire : $L(\lambda y_1+\mu y_2)=\lambda L(y_1)+\mu L(y_2)$.
- L'ensemble des solutions de l'équation homogène est stable par combinaison linéaire et contient la fonction nulle.
- Si $y_p$ est une solution particulière de l'équation complète, alors les solutions de l'équation complète sont exactement les fonctions $y_p+y_h$, où $y_h$ décrit l'ensemble des solutions de l'équation homogène.
On retient : solution générale = solution particulière + solution générale de l'homogène.
Démonstration : Structure de l'ensemble des solutions
Preuve de la structure
Le point 1 vient de la linéarité de la dérivation : $(\lambda y_1+\mu y_2)'=\lambda y_1'+\mu y_2'$, et de même pour $y''$. Le point 2 en découle : si $L(y_1)=L(y_2)=0$, alors $L(\lambda y_1+\mu y_2)=0$.
Pour le point 3, soit $y$ une fonction dérivable (deux fois au second ordre). Comme $L(y_p)=b$, $$L(y)=b\iff L(y)=L(y_p)\iff L(y-y_p)=0.$$ Ainsi $y$ est solution de l'équation complète si et seulement si $y_h=y-y_p$ est solution de l'équation homogène, c'est-à-dire $y=y_p+y_h$.
S’entraîner
- Équations homogènes du premier ordre
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Racine simple, polynôme de degré 1 et comportement en $-\infty$
- Raccordement en un point singulier
- Oscillateur amorti forcé et résonance en amplitude
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Structure de l'ensemble des solutions