Prépa, 1re année › Équations différentielles linéaires › Équation linéaire du second ordre à coefficients constants
Équation linéaire du second ordre à coefficients constants : définition (MPSI)
Définition
Équation linéaire du second ordre à coefficients constants
Soient $a,b\in\mathbb{K}$ et $f : I\to\mathbb{K}$ continue. L'équation $$(E_2)\quad y''+a\,y'+b\,y=f(x)$$ est une équation linéaire du second ordre à coefficients constants. Une solution est une fonction $y : I\to\mathbb{K}$ deux fois dérivable vérifiant l'égalité en tout point de $I$. L'équation homogène associée est $y''+ay'+by=0$.
Remarque
Régularité automatique
Une solution de $(E)$ vérifie $y'=b-ay$, qui est continue : toute solution est donc de classe $\mathcal{C}^1$. De même, une solution de $(E_2)$ vérifie $y''=f-ay'-by$ continue : elle est de classe $\mathcal{C}^2$.
S’entraîner
- Équations homogènes du premier ordre
- Coefficient constant, second membre polynomial ou exponentiel
- Les trois cas de l'équation caractéristique
- Superposition de deux exponentielles
- Variation de la constante
Dans le cours
Équations différentielles linéaires : Équation linéaire du second ordre à coefficients constants