Déterminer l'unique solution sur $\mathbb{R}$ de $$y''+2y'+2y=5\cos x$$ vérifiant $y(0)=0$ et $y'(0)=0$.
Les racines de l'équation caractéristique sont complexes conjuguées.
Résoudre $z''+2z'+2z=5e^{ix}$ en calculant $\chi(i)$, puis prendre la partie réelle.
Dériver la solution générale avec soin avant d'imposer $y'(0)=0$.
Homogène. $r^2+2r+2=0$, $\Delta=4-8=-4$, racines $-1\pm i$. Solutions réelles : $e^{-x}(\lambda\cos x+\mu\sin x)$.
Solution particulière. Les coefficients sont réels et $5\cos x=\mathrm{Re}(5e^{ix})$. On résout $z''+2z'+2z=5e^{ix}$ : $\chi(i)=i^2+2i+2=1+2i\neq0$, donc $$z_p=\frac{5}{1+2i}e^{ix}=\frac{5(1-2i)}{5}e^{ix}=(1-2i)e^{ix}.$$ Alors $y_p=\mathrm{Re}\big((1-2i)(\cos x+i\sin x)\big)=\cos x+2\sin x$.
Vérification : $y_p'=-\sin x+2\cos x$, $y_p''=-\cos x-2\sin x$, donc $y_p''+2y_p'+2y_p=(-1+4+2)\cos x+(-2-2+4)\sin x=5\cos x$.
Solution générale. $y(x)=e^{-x}(\lambda\cos x+\mu\sin x)+\cos x+2\sin x$, et $$y'(x)=e^{-x}\big((\mu-\lambda)\cos x-(\lambda+\mu)\sin x\big)-\sin x+2\cos x.$$
Conditions initiales. $y(0)=\lambda+1=0$ donne $\lambda=-1$. $y'(0)=\mu-\lambda+2=0$ donne $\mu=\lambda-2=-3$.
D'après le théorème de Cauchy, l'unique solution est $$y(x)=\cos x+2\sin x-e^{-x}(\cos x+3\sin x).$$
$y(x)=\cos x+2\sin x-e^{-x}(\cos x+3\sin x)$